Clasificación de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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    Una vez que entendimos su definición es hora de saber como se clasifican, esto nos ayudara entender mejor los ejercicios y ser mas eficientes a la hora de resolverlos, entonces

¿Como se clasifican los Sistemas de Ecuaciones Lineales? 




Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones:

Compatible cuando el sistema tiene alguna solución.

             ♦  Si la solución es única, el sistema es determinado.

             ♦  Si hay infinitas soluciones, el sistema es indeterminado.


  • Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.

  • Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.

♦ Incompatible, cuando el sistema no tiene solución.

  • Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralela.



Para ser un poco mas claros, a continuación les adjuntamos ejemplos:

Ejemplo de sistema compatible determinado:
                                            

Intentaremos resolver el sistema mediante el método de sustitución. Para ello, despejamos la incógnita y en la primera ecuación y sustituimos por su valor en la segunda.

y = 19 - x
2x - (19 - x) = 2 ⇒ 2x -19 + x = 2 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 7
 y = 19 - x ⇒ y = 12

Por tanto, el sistema tiene solución y además es única. El sistema es compatible determinado.

También podemos clasificar el sistema de ecuaciones en función de los coeficientes y los términos independientes:


Ejemplo de sistema compatible indeterminado:
 


Intentaremos resolver el sistema por el método de reducción. Para ello multiplicamos la primera ecuación por -2 y sumamos ambas ecuaciones.


Este resultado nos indica que ambas ecuaciones lineales representan rectas proporcionales.

Por tanto, tienen infinitos puntos comunes, es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.


Para determinar todas las soluciones del sistema, hacemos lo siguiente:

• Damos a x un valor cualquiera al que llamaremos t (igualmente podríamos dárselo a y): x = t

• Sustituimos en una de las ecuaciones y despejamos la incógnita y:
x + y = 19 ⇒ t + y = 19 ⇒ y = 19 - t

Por tanto, las soluciones del sistema vienen dadas por:


También podemos clasificar el sistema de ecuaciones en función de los coeficientes y los términos independientes:


Ejemplo de sistema incompatible:


Intentaremos resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por -1 y sumamos ambas ecuaciones


La igualdad obtenida es falsa:  0 ≠ -14

Por tanto, el sistema no tiene ninguna solución. El sistema es incompatible.

También podemos clasificar el sistema de ecuaciones en función de los coeficientes y los términos independientes:


Esperamos que los ejemplos ayuden a ilustrar mejor la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplos extraídos de:  Clasificación de sistemas lineales. (2023). Calculo.cc. Clasificación de Sistema de Ecuaciones Lineales


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