¿Método Gauss o Gauss-Jordan?

Seguro que cuando te hablan de matrices y detenidamente haz escuchado Gauss-Jordan, aunque sea un vez, bueno este es un método que también nos ayuda a la hora de solver sistema de ecuaciones lineales. 

De igual forma, si no te suena o no lo conoces aquí te lo explicamos, 

¿Que es el método Gauss-Jordan?

Método de Gauss

El método de Gauss está basado en la eliminación gaussiana que opera sobre una matriz extendida formada por la matriz de coeficientes y los términos independientes. La eliminación gaussiana es un procedimiento que obtiene matrices equivalentes más simples. En la eliminación gaussiana se divide el primer renglón de la matriz extendida entre el primer elemento de la diagonal principal para convertirlo en 1 y que funcione como pivote. Luego, el nuevo primer renglón se multiplica por el elemento debajo del pivote y le restamos el renglón 2 para obtener un nuevo renglón 2 con cero debajo del pivote. La operación anterior se repite para hacer cero todos los elementos debajo del pivote. Posteriormente se repiten los pasos anteriores en todas las columnas de la matriz de coeficientes y se obtiene una matriz extendida con unos en la diagonal principal y ceros debajo de ella. Esta matriz extendida luego se escribe como un sistema de ecuaciones para aplicar un proceso de sustitución inversa en que una incógnita quedará resuelta en la última ecuación. Luego, con la incógnita resuelta y la ecuación previa se resuelve otra incógnita, y así sucesivamente hasta encontrar los valores de todas las variables desconocidas. En este método debemos tener especial cuidado en el orden en que aplicamos los pasos del procedimiento haciendo unos y ceros primero en la columna uno, luego en la dos, y así sucesivamente hasta llegar a la última columna de la matriz de coeficientes.

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una generalización del método de Gauss que funciona de manera más sistemática; también opera sobre la matriz extendida formada por la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes. En este método aplicamos la eliminación gaussiana para convertir en unos todos los elementos de la diagonal principal y ceros los elementos que están fuera de la diagonal principal. Después de completar la eliminación gaussiana, los valores que quedan en la parte extendida de la matriz son la solución del sistema de ecuaciones lineales y aparecen en el mismo orden que las incógnitas en las ecuaciones.

Consiste en encontrar otro sistema de ecuaciones equivalente, de manera que la matriz ampliada, en la forma (A|B), mediante operaciones elementales de matrices, se convierta en una matriz escalonada reducida. O, lo que es lo mismo, que la parte de la izquierda, la matriz A, o matriz de coeficientes, se transforme en una matriz identidad. El sistema queda resuelto directamente.

Esas operaciones elementales son:

• Intercambiar filas.
• Multiplicar una fila por un número real diferente de cero.
• Obtener una fila al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.

Un paso intermedio es llegar a una matriz escalonada

: que proporciona un sistema de ecuaciones lineales equivalente que ofrece una solución a las raíces, retrocediendo de la última ecuación a la primera. Esto es el método de Gauss o eliminación gaussiana.

Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales:

Puede expresarse en forma matricial:

O, abreviadamente:

La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las xn incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).

La matriz X es la matriz columna formada por las xi incógnitas.

La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.

Aquí un vídeo con un ejercicio: Método Gauss Jordan